第12回：最短経路（ダイクストラ法・ベルマンフォード法）¶

前回は DFS・BFS でグラフを歩いた。特に BFS のレベル＝最短の辺数（区間数） が出ることを見た。ただしそれは「1 辺＝1」の世界、つまり重みなしのときだけ。今日は、辺に重み（所要時間など）がついたときの本当の最短を求める。

前回の補足：DFS の訪問順の約束

DFS はスタックでも再帰でも書けるが、この 2 つで点を訪れる順番が変わることがある。この授業で「DFS の訪問順を書け」と言うときは、スタック実装（隣は名前順に積む）を基準にする（可視化ツールの ⑫ グラフ探索 もこの実装）。なお、到達できるか・連結成分・閉路といった「分かる性質」は実装によらず同じ。変わるのは順番だけ。

今日の問い¶

前回の最後に見た路線（中央-緑 だけ 30 分、ほかは各 5 分）で、中央 → 終点 を考える。

区間数最小 → 中央-緑-終点（2 区間）＝ 35 分
区間数多 → 中央-桜-港-浜-終点（4 区間）＝ 20 分

「本数が少ない」と「時間が短い」は別物だ。重み（時間）が違うとき、本当の最短経路はどう求める?

演習12-1¶

下の重みつきグラフ（無向、数字はその区間の所要時間）で、S から T へ、合計がいちばん短い行き方を見つけ、その合計を書け。

graph LR
    S ---|1| A
    S ---|3| B
    A ---|1| C
    A ---|5| D
    B ---|2| C
    B ---|1| D
    C ---|8| T
    D ---|1| T

考えるヒント

「いちばん安い区間から進む」作戦で、本当に最短になる? S-A（1）と S-B（3）、最初の 1 区間の安さは当てになるか試そう。
各点に「いまわかっている最短」を書き込み、もっと短い道が見つかるたびに書き換えるとよい。

ダイクストラ法：確定して広げる¶

手で探すと、点が増えたとたんに破綻する。そこで機械的な手順にする。これがダイクストラ法。

各点に 暫定距離（いまわかっている、始点からの最短）を持たせる。

始点＝ 0、ほかは ∞（まだ不明）

そして次の 2 つを繰り返す。

未確定の中で、暫定距離が最小の点を 1 つ確定する
確定した点から隣を見て、暫定距離を更新（緩和）する

全部の点を確定したら終わり。

緩和（relaxation）：もっと短い道で上書き¶

確定した点 u の隣 v を見て、

もし (u の距離＋辺の重み) < v の暫定距離 なら、v をその値に上書き

「より短い行き方が見つかったら書き換える」だけ。そうでなければそのまま。暫定距離は、確定するまで何度でも短く更新されうる。

手を動かして追う¶

別の小さな例で 1 周してみる（S が始点、G がゴール）。

graph LR
    S ---|2| P
    S ---|5| Q
    P ---|1| Q
    P ---|7| G
    Q ---|2| G

始点 S=0、ほかは ∞
S を確定（0）→ 緩和：P=2、Q=5
未確定で最小は P → 確定（2）→ 緩和：Q=min(5, 2+1)=3、G=2+7=9
未確定で最小は Q → 確定（3）→ 緩和：G=min(9, 3+2)=5
未確定で最小は G → 確定（5）。終了

S → G の最短は 5（S-P-Q-G）。直通の S-Q（5）や P-G（7）に引っぱられず、遠回りでも合計が小さい道が残る。

やってみよう

同じ手順を、上の演習12-1 のグラフでも回してみよう。手で「安い区間から」選んだときと、答えが同じになるか確かめると、ダイクストラのありがたみが分かる。

なぜ「最小の未確定点」は確定してよいのか¶

確定するのは、いつも暫定距離が最小の未確定点。その点へ、いまより短い行き方はあるだろうか?

あるとすれば、まだ未確定の、もっと遠い点を経由するしかない
重みは非負と仮定しているので、遠い点を通れば必ずそれ以上になる

だから「最小の未確定点」の距離はもう縮まない ＝確定してよい。

大前提：辺の重みにマイナスがない

この理屈は重みが非負だから成り立つ。負の辺があると崩れる（後半で扱う）。

「次の 1 個」を最速で取り出す＝ヒープ¶

毎回やるのは「未確定の中で暫定距離が最小の点を取り出す」こと。これは第10回のヒープ（優先度付きキュー）そのものの仕事。

取り出し（pop）も、更新による入れ直し（push）も O(log n)

「次に処理すべき 1 個を最速で出す」という、ヒープの存在理由がここで効く。

アニメーションで見てみよう

可視化ツールの ⑬ 最短経路（重み付き） で「ダイクストラ法（貪欲）」を選び、確定が広がって暫定距離が更新される様子を追ってみよう。

演習12-2¶

下のグラフ（無向・重みつき）を、S からダイクストラで途中まで進めた。

いまの状態：確定済み S=0, A=2 ／暫定 B=3, C=9, T=∞

graph LR
    S ---|5| B
    S ---|2| A
    A ---|1| B
    A ---|7| C
    B ---|3| C
    B ---|8| T
    C ---|2| T

(a) 次に確定されるのはどの点か
(b) その点の距離がもう改善されないと言い切れる理由を一言
(c) その点を確定したとき、暫定距離が変わる隣と、その新しい値は?

考えるヒント

(a) は未確定（B, C, T）の中で暫定距離が最小の点。(c) は本文「緩和」のとおり、(確定した点の距離＋辺の重み) と、いまの暫定距離を比べる。

計算量：O((n + e) log n)¶

確定は各点 1 回＝ヒープから n 回取り出す
緩和は各辺ごと＝ヒープへ最大 e 回入れ直す
ヒープの取り出し・入れ直しは O(log n)

合わせて O((n + e) log n)（疎なグラフで実用的）。隣接リストで「隣だけ」を見るから、辺は e 回で済む。

ここで前提が崩れる：負の辺¶

ダイクストラの「最小の未確定点は確定してよい」は、重みが非負だから成り立っていた。もし負の辺があると?

一度確定した点でも、あとから負の辺を通ればもっと短くできる場合がある
でもダイクストラは確定済みを直さない → 間違える

重みが「距離・時間」とは限らない。損得（コスト）なら、得する区間はマイナスになりうる。負の辺があるグラフでも正しく解きたい → 別の方法が要る。

ベルマンフォード法：確定せず、全部の辺を繰り返し緩和¶

貪欲に「確定」しない。代わりに、全部の辺を 1 回ずつ緩和するのをまとめて行い、これを n−1 回繰り返す。

確定という前提を使わないので、負の辺があっても正しい。

なぜ n−1 回?¶

1 巡（全部の辺を 1 回ずつ緩和）で確実に進むのは 1 辺ぶんだけ（緩和の順が悪いと、根本がまだ ∞ の辺は効かず、先頭から 1 本ずつしか伸びない）
最短経路は高々 n−1 辺（負の閉路がなければ同じ点を二度通らない）
だからどんな緩和順でも n−1 巡あれば必ず出そろう（最悪を保証）

例：S→A→B→C→T、全部重み 1。運悪く「T に入る辺」から逆順に緩和すると、1 巡で 1 本ずつしか伸びない。

巡	A	B	C	T
初期	∞	∞	∞	∞
1 巡目	1	∞	∞	∞
2 巡目	1	2	∞	∞
3 巡目	1	2	3	∞
4 巡目	1	2	3	4

点が 5 個なので n−1 = 4 巡で全部出そろう。

負の閉路の検出¶

n−1 回まわした後、まだ緩和できる辺が残っていたら? → 回るほど短くなる負の閉路がある証拠。

負の閉路があると、ぐるぐる回るほど合計が下がる＝ 最短が決まらない（下限なし）。ベルマンフォードは「最短が存在しない」ことも判定できる。これはダイクストラにはない強み。

アニメーションで見てみよう

可視化ツールの ⑬ 最短経路（重み付き） で「ベルマンフォード法（全辺くり返し）」を選び、「鎖：くり返しが効く」や「負の辺あり」「負閉路あり」のグラフで動かしてみよう。

演習12-3¶

下の有向グラフ（矢印の向きにしか進めない）で、S から各点への最短を考える。

graph LR
    S -->|1| A
    S -->|2| B
    B -->|-2| A

(a) ダイクストラだと A は距離 1 で確定される。でも本当の最短は?
(b) なぜダイクストラはそれを直せないのか、一言で
(c) なぜベルマンフォードなら直せるのか、一言で

考えるヒント

S→A（直行）と S→B→A（負の辺を通る）を、合計で比べてみる。(b)(c) は「確定したら直さない」のか「確定せず全辺を繰り返す」のか、という両者の仕組みの違いに注目。

計算量：O(n · e)¶

全部の辺（e 本）を緩和、を n−1 ≒ n 回。だから O(n · e)。ダイクストラの O((n+e) log n) より遅い。その遅さと引き換えに、負の辺 OK・負の閉路の検出が手に入る。

ダイクストラ vs ベルマンフォード¶

	ダイクストラ	ベルマンフォード
重みの条件	非負のみ	負の辺 OK
仕組み	最小の点を確定 → 隣を緩和	全辺を繰り返し緩和（n−1 回）
道具	優先度付きキュー（ヒープ）	特になし（全辺をなめる）
速さ	O((n+e) log n)：速い	O(n · e)：遅い
負の閉路	前提が崩れて不可	検出できる

共通点：どちらも「緩和（短い道で上書き）」が中心。違いは「貪欲に確定するか／全部を繰り返すか」。

演習12-4¶

次のそれぞれで、BFS／ダイクストラ／ベルマンフォードのどれを使うか。理由も一言。

(a) 全区間同じ所要時間の路線で、乗り換え回数を最小にしたい
(b) 区間ごとに所要時間が違う（すべて正）路線で、最短時間を知りたい
(c) 区間ごとに損得があり（得する区間はマイナス）、合計の損を最小にしたい

考えるヒント

道具は「重みの条件」で決まる。重みなし（1 辺＝1）／すべて非負／負ありの 3 択で考える。下の「道具の選び方」が地図になる。

道具の選び方（今日の地図）¶

graph TD
    Q{辺に重みは?} -->|重みなし<br/>1辺＝1| BFS[BFS<br/>最短の辺数]
    Q -->|重みあり| N{負の辺は?}
    N -->|全部 非負| DJK[ダイクストラ]
    N -->|負あり| BF[ベルマンフォード<br/>負の閉路も判定]

「どれが正解」ではなく、重みの条件がどれを使えるかを決める。

演習12-5¶

第11回と同じ路線図に、区間ごとの所要時間を入れた。ある人が BFS で乗り換え案内を作った：区間数が最小の経路を「最短」として表示する。

graph LR
    中央 ---|30| 緑
    中央 ---|5| 桜
    緑 ---|8| 港
    緑 ---|5| 終点
    桜 ---|5| 港
    桜 ---|11| 浜
    港 ---|5| 浜
    港 ---|6| 終点
    浜 ---|5| 終点

(a) このアプリは 中央 → 終点 をどの経路・何区間と表示するか。その経路の実際の所要時間は何分か
(b) 中央 → 終点 の本当の最短時間は何分か。経路も書け
(c) 緑 は 中央 と直通（中央-緑＝30 分）。緑 への最短はその直通か? 違うなら最短時間と経路を書け
(d) ダイクストラを 中央 から始めると、終点 と 緑 はどちらが先に確定するか。理由を一言

考えるヒント

(a) BFS は区間数で選ぶ。その経路の時間の合計は別途足し算する。
(b)(c) 「直通だから速い」「区間数が少ないから速い」は重みつきでは成り立たない。遠回りでも合計が小さければそれが最短。いくつかの経路の合計を出して比べよう。
(d) ダイクストラは暫定距離が小さい順に確定する。終点 と 緑 の最短時間を出して、小さいほうが先。

まとめ¶

重みつきの最短は、緩和（短い道で上書き）が中心
ダイクストラ：最小の未確定点を確定 → 隣を緩和。非負前提・O((n+e) log n)。「次の 1 個」を出すのがヒープ
ベルマンフォード：確定せず全辺を n−1 回緩和。負の辺 OK・O(n·e)・負の閉路を検出
道具は重みの条件で選ぶ：重みなし → BFS ／非負 → ダイクストラ ／負あり → ベルマンフォード

次回予告¶

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次回：問題解決における生成 AI との付き合い方・総まとめ。

第12回：最短経路（ダイクストラ法・ベルマンフォード法）¶

今日の問い¶

演習12-1¶

ダイクストラ法：確定して広げる¶

緩和（relaxation）：もっと短い道で上書き¶

手を動かして追う¶

なぜ「最小の未確定点」は確定してよいのか¶

「次の 1 個」を最速で取り出す ＝ ヒープ¶

演習12-2¶

計算量：O((n + e) log n)¶

ここで前提が崩れる：負の辺¶

ベルマンフォード法：確定せず、全部の辺を繰り返し緩和¶

なぜ n−1 回?¶

負の閉路の検出¶

演習12-3¶

計算量：O(n · e)¶

ダイクストラ vs ベルマンフォード¶

演習12-4¶

道具の選び方（今日の地図）¶

演習12-5¶

まとめ¶

次回予告¶

「次の 1 個」を最速で取り出す＝ヒープ¶